Algebra con el Geras 1. Factorización y Productos Notables

¿Qué es factorización?

- Es descomponer una expresión algebraica en factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
- La factorización se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de esta última es encontrar el producto de 2 o más factores, mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado.

• Factorar un polinomio
No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que, en Aritmética, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas mismas y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellas mismas y por 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a+b  no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a+b  y por 1.
Basado en la página 144
• Factorar de la forma x2+bx+c
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Por ejemplo:


x2+2x-15 = (x+_ ) (x-_ )

Se deben buscar dos números que sumados den +2 y multiplicados den -15. En varios casos números que se buscan no necesariamente deben ser ambos positivos o negativos, tales como éste.

-3 y 5 cumplen perfectamente ésta última condición. Si se suman dan como resultado +2 y el producto de ambos da -15. Entonces:
(x-3) (x+5) = x2+ 2x+15
Basado en la página 158
• Trinomio cuadrado perfecto


Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado e otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales. Por ejemplo: 4a2 es producto de (2a)2 o (2a) (2a). Como también:




(2x+5)2 = 4x2+20x+25
Basado en la página 149
• Factorizar por término o factor común


Para factorizar de esta forma, es necesario encontrar el mínimo común divisor (MCD) y aplicar propiedad distributiva, por ejemplo:


ax+bx+ay+by = (ax+bx) + (ay+by)
=a(x+y)+ b(x+y)=


= (a+b)(x+y)

¿Qué son los productos notables?

- Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.1

- Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados

El resultado de multiplicar un binomio ${\displaystyle a+b}$ por un término ${\displaystyle c}$ se obtiene aplicando la propiedad distribuitiva:

${\displaystyle c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b\,}$

En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es ${\displaystyle c(a+b)\,}$, es decir, el producto de la base ${\displaystyle a+b\,}$ por la altura ${\displaystyle c\,}$, también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ${\displaystyle ca\,}$ y ${\displaystyle cb\,}$

• Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

Sea el producto (a+b) (a-b).

a+b

a-b
------ 

 a2+ab
-ab-b2

-------------

a2           -b2

Por tanto, (a+b) (a-b) = a2-b2

Entonces: La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrad del sustraendo. 

• Producto de dos binomios de la forma (x+a) (x+b)

El producto de dos binomios de la forma (x+a)(x+b) es igual al producto de los primeros términos de los binomios, más la suma algebraica de los segundos términos por el término común de los binomios, más el producto de los segundos términos de los binomios.

 Entonces: (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab

• Factores

Se le llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la primera expresión. Así multiplicando a  por a+b  tenemos:

a(a+b) = a2+ ab

a  y a+b, que multiplicadas entre sí dan como resultado a2+ab, son factores o divisores de a2+ab.

Por tanto:

                                                       (x+2) (x+3) = x2+ 5x + 6

Luego, x+2  y x+3 son factores de x2 + 5x + 6.

• Descomposición factorial o en factores

Una expresión algebraica es convertida en el producto indicado de sus factores.

• Factorar un monomio

Los factores de un monomio se hallan por simple inspección. Así, los factores de 15ab
son 3, 5, a y b. Entonces:

15ab = (3a)(5b)